ХоумКредит
 
Myref.ru - Огромная коллекция рефератов, шпрагалок, курсовых и дипломных работ
 

МЕНЮ

      Сделать стартовой      Добавить в избранное      Обратная связь

     

Главная
Шпаргалки
Сочинения
Библиотека
Готовые д/з
Биографии
English топики
Краткие содержания

Поиск 

Например, Шпоры по экономике предприятия

Я ищу:

Шпаргалка 

Скачать полную версию

Билеты по геометрии. Ответы. 2006 год

Билет 1

1. Существует 3 типа взаимного расположения прямых в пространстве:

а) прямые пересекаются, т.е. имеют одну общую точку

б) прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются

в) прямые скрещиваются, т.е.  не лежат в одной плоскости

Теорема1: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, притом только одна

Теорема2: Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной и притом только одна

Признак: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

2. Касательной плоскостью к шару или касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой (шаровой поверхностью) только одну общую точку. Эта точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Свойство:  радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Док-во: предположим противное, т.е. что радиус ОА не ↓ α. Тогда он является наклонной к плоскости  α, след. Расстояние от центра О сферы до плоскости α меньше радиуса. В этом случае плоскость пересекает сферу по окружности, что противоречит условию теоремы о том, что α – касательная, т.е. имеет одну общую точку со сферой. Противоречие доказывает, что ОА↓ α, ч. и  т.  д.

Обратная теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Док-во: основано на том, что расстояние от центра сферы до данной плоскости равно длине перпендикуляра, проведенного из центра сферы к плоскости, т.е. равно радиусу. След. сфере и плоскость имеют лишь одну общую точку, т.е. плоскость является касательной к сфере

Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от некоторой точки.

Шар – тело, ограниченное сферой.


Билет 2

1. Две плоскости могут:

а)пересекаться по прямой

б) не иметь ни одной общей точки(плоскости не пересекаются)

Если две плоскости не пересекаются, то они называются параллельными

Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей:

1) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

2)Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны

Аксиома: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

2. Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Рассмотрим треугольную наклонную призму АВСА1В1С1. ..АВС и А1В1С1 – основания,  h – высота. Отметим на основании АВС произвольную точку О и проведем ось Ох перпендикулярно основаниям. Через произвольную точку Х оси ОХ проведем сечение А2В2С2  плоскостью, перпендикулярным основаниям. Найдем площадь сечения S(х)

АА2 =СС2, А А2 ||СС2 , А2С2 = АС

С2В2 = СВ, В2А2 =ВА, след. треуг. А2В2С2 =АВС

S(х) = S, где S  площадь основ. АВС призмы

V=b a∫ S(х) dx a=0, b=h, S(х) = S


Произвольная призма с высотой h

Эту призму можно разбить на треуг. Призмы по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель H , получим в скобках сумму площадей оснований треуг.призм. След. Объем исходной призмы равен Sh, ч и.т.д



Билет 3

1. Прямая и плоскость в пространстве могут быть расположены друг относительно друга одним из трех способов:

а) прямая может лежать в пл-ти

б) пересекать плоскость

в) могут быть параллельны

Аксиома: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. В этом случае говорят , что прямая лежит в плоскости. Из аксиомы следует –если прямая не лежит в данной плоскости то имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются в данной точке.

Если прямая и плоскость не имеют общих точек, то они называются параллельными.

Теорема: Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Теорема: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема: если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в ней.

2.Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Для вывода этой формулы в цилиндр вписываем правильную n-угольную призму и опишем около цилиндра правильную n-угольную призму. Обозначим через V объем цилиндра, vn –  объем вписанной призмы,  а через Vn – объем описанной призмы.  Поскольку описанная призма содержит цилиндр, а цилиндр содержит вписанную призму, то  vn<V< Vn.

Объем каждой призмы равен произведению площади её основания на высоту, которая является общей и для призм, и для цилиндра. Основания призм представляют  собой правильные многоугольники, вписанные в круг, являющийся основанием цилиндра и описанный около него. При неограниченном увеличении числа  n сторон  многоугольников их площади будут приближаться к площади круга. Следовательно и объемы будут приближаться к одной и той же величине, равной Sh, который в силу неравенства vn<V<Vn. И будет объем цилиндра, таким образом V=Sh. Поскольку площадь основания цилиндра равна  πr2h, где r - радиус основания, объем цилиндра может быть записан в виде V = πr2h

Призма называется вписанной в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра и описанной около цилиндра, если её основания описаны около основания цилиндра.


Билет 4

1. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Свойства параллельных плоскостей:

1) Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны

2) Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны

Пример: Отрезки АВ и СD – отрезки параллельных прямых, лежащих в плоскости γ,  которая пересекает две параллельные плоскости α и β. При этом точки А и С лежат на линии пересечения пл-тей  α и γ, а В и D – на линии пересечения β и γ. Определим вид четырехугольника АВСD при условии, что АС= АВ. По св-ву 1 отрезки АС||  ВD. По св-ву 2 АВ=СD, поэтому, учитывая условие АС= АВ и св-во пар-ма о равенстве противоположных сторон, делаем вывод, что данный четырехугольник ромб.

2. Призма – выпуклый многогранник, у которого 2 грани равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани параллелограммы.

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой.

Теорема: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во:



Для  n-угольной прямой призмы вывод формулы аналогичен.

Площадь полной поверхности равна сумме площади бок.. поверхности и 2*S осн.


Билет 5

1. Пусть точка А не лежит в плоскости α. Проведем через точку А прямую перпендикулярную к плоскости α и обозначим через Н точку пересечения этой прямой плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н – основанием перпендикуляра. На плоскости α выберем произвольную точку М, не совпадающую с Н, и проведем отрезок АМ. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, называется проекцией наклонной на плоскость α. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к данной плоскости. Длина перпендикуляра АН называется расстоянием от точки А до плоскости  α.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями – это расстояние от произвольной точки одной из этих плоскостей до другой плоскости.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью – это расстояние от произвольной точки данной прямой до данной плоскости.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой.

2. Параллелепипед – поверхность, составленная из двух равных параллелограммов четырех параллелограммов.

Параллелепипед можно рассматривать как призму, основаниями которой являются параллелограммы.

Теорема: противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

     Док-во: Докажем равенство граней ABB1A1 и DCC1D параллелепипеда ABCA1..D1. Т.к. ABCD и ADD1A1 - параллелограммы, то AB||DC и AA1||DD1. Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA1 одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск. следует, что грани ABB1A1 и DCC1D1 параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По той же причине стороны углов A1AB и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и ∠ м/у ними паралл-ма ABB1A1 соотв. равны двум смежным сторонам у ∠ м/у ними пар-ма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны, ч.и т.д.


Билет 6

1. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной их скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую, параллельно первой.

При этом расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью – это расстояние от произвольной точки прямой до данной плоскости.

Проведем через прямую а плоскость β, перпендикулярную плоскости α. Эта плоскость пересечет плоскость α по прямой с, которая прямую и и точке И (точка пересечения прямых в и с обязательно существует, т.к. в противном случае прямая а была бы параллельной прямой в, а не скрещивалась с ней). Проведем отрезок АВ, перпендикулярный прямой с  и пересекающий прямую а в точкеА. Длина этого отрезка и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми а и в.

Расстояние от произвольной точки до плоскости – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

2. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки, которую можно получить, если разрезать боковую поверхность по одной из образующих и развернуть её на плоскости. Найдем площадь боковой поверхности конуса у которого образующая равна L, а радиус основания равен  rазвертка конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен образующей  L, а длина дуги равна длине окружности основания  конуса  2πr.  Sбок. Этого сектора выражается Sбок=πL2 α/360, где α – градусная мера дуги сектора. Длина дуги этого сектора равна длине дуги окружности с градусной мерой α, т.е.  2πr= πL/180 α, откуда α= 360r/L. Подставляя это выражение в формулу для Sбок.пов.конуса, получим Sбок= πL2r/L= πL r, т.е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую

конус – тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L.

Пусть в плоскости альфа лежит окр-ть L  с центром О. Прямая РО перпендикулярна плоскости альфа. Поверхность, образованная перемещением отрезка РА, соединяющего точку Р с точкой А окружности называется конической поверхностью, а отрезки, соедин. Точку Р с точками окр-ти L – образующими конич. поверхности.


Билет 7

1. Прямые называются скрещивающимися, если не лежат в одной плоскости.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Углом  между двумя пересекающимися прямыми принято считать один из этих четырех углов, не превосходящий ни один из трех остальных углов.

2. Призма – выпуклый многогранник, у которого 2 грани равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные грани параллелограммы.

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой.

Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания  на высоту.

Док-во: Рассмотрим прямую призму АВСА1В1С1 с объемом V и высотой  h. Проведем такую высоту в  треуг. АВС , которая разделяет данную призму на 2 призмы, основаниями которых явл. Прямоугольные треуг. АВD и ВDС. След. V1 и V2 этих призм равны SAВD h  и SBDC h. По св-ву (Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен семе объемов этих тел) V= V1 + V2, т.е. V= SAВDh+ SBDC h= (SAВD+ SBDC)h. След. V=SАВС h

Любую n-угольную призму можно разделить на треугольные призмы. По св-ву V, весь V равен сумме V каждой. Vтр.призмы = Vосн h

Высоты одинаковые их можно вынести за скобку : S1 h+ S2 h+ S3 h+ Sn h= h(S1 +…+Sn)= Sосн h


Билет 8

1. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной  к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. На рис. АВ и пл-ть α персекаются в точке М; прямая СМ является проекцией прямой АВ на плоскость α. Угол АМС, согласно определению, является углом между прямой АВ и пл-тью α.

Если прямая параллельна плоскости или лежит в не й, то принято считать , что угол между прямой и плоскостью равен 0.

Если же прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным 90.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в пл-ти, и сама точка, если она лежит в пл-ти.

Проекцией некоторой фигуры на пло-ть назыв. Фигура, составленная из проекций точек исходной фигуры на эту пл-ть. Таким образом, проекцией прямой на пл-ть явл. Фигура, состоящая из проекций всех точек прямой на эту пл-ть.

2. Пирамида – многогранник, одной из граней которого является многокгольник, а остальные – треугольники, имеющие общую вершину и основания, совпадающие со сторонами многоугольника.

Теорема: Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во: Рассотрим треугольную пирамиду АВСО. АВС –основание, h – высота. Проведем ось Ох из вершины пирамиды перпендикулярно основанию.

Через произвольную точку М1, с координатой х, леж. На оси Ох, проведем сечение А1В1С1   препендикулярно оси Ох. Обозначим через щадб основания и через S(х) площадь сечения.



Рассмотрим теперь n-угольную пирамиду. Разобьем её на n-2 треугольные пирамиды с равными высотами  h. Тогда объем пирамиды равен сумме объемов всех получивш. Треуг. Пирамид: V=V1 + V2 +….+Vn-2, каждый из которых равен одной трети  произвед. площади соответствующего треуг. на высоту  h:


Сумма площадей треуг. равна площади многоугольника, лежащ. В основании, откуда V=1/3Sh


Билет 9

1. Аксиома 1: Через любые 3 точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.

Аксиома 2 : Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома 3: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки плоскостей.

Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость и притом только одна.

Теорема 2:Через 2 пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

2. Шаровым сегментом назыв. часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Если радиус шара равен R, а высота h, то объем шарового сегмента вычисляется по формуле : V=2/3 πh²(R-1/3 h)

Шаровым слоем назыв. Часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

Шаровым сектором назв. Тело, полученное вращением кругового сектора с углом меньшим 90. V=2/3 π R ² h

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через  r, а его площадь через S(х), где х – абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прям.  треуг. ОМС: r=


Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R≤х≤ R. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, в= R, след.



Билет 10

1. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости образующие двугранный угол, называются его гранями, а прямая а – общая граница полуплоскостей – ребром двугранного угла. Выберем на ребре произвольную точку О и проведем два луча Оа и ОВ, каждый из которых лежит на соответствующе йграни , перпендикулятно ребру. Угол АОВ, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла. Очевидно, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Справедливо утверждение: все линейные углы двугранного угла равны между собой.

Градусная мера линейного угла называется градусной мерой соответствующего двугранного угла.

2. Пирамида – многогранник, одной из граней котороо является многоугольник, а остальные теругольники, имеющие общую вершину и основания, совпадающие со сторонами многоугольника.

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, явл. Её высотой. Боковые грани прав. пирамиды явл.  равными р/б треуг. Высота боковой грани прав. пирамиды, проведенная из её вершины, назыв. апофемой.

Теорема: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на впофему.

Док-во: Боковые грани правильной пирамиды – равные р/б треугольники, основания которых -  стороны основания пирамиды, а высоты – апофемы. Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме произведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося общий множитель 1/2 d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т.е. его периметр, ч.и т.д.

 

Билет 11

1. Призма – выпуклый многогранник, у которого две грани – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, остальные грани – параллелограммы.

Равные многоугольники называются основаниями, а параллелограммы  - боковые грани призмы. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания на плоскость другого основания, называется высотой призмы. Строны боковых граней, не совпадающие со сторонами оснований, называются боковыми ребрами. Если боковые ребра перпендикулярны основаниям призмы, то призму называют прямой, в противном случае – наклонной.

Площадь боковой поверхности призмы называют сумму площадей её боковых граней, а площадью полной поверхности – сумму площадей всех её граней.

Призма, основания которой – параллелограммы, представляет собой параллелепипед.

2. Две  пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90.

Признак перпендикулярности плоскостей: Если одна из двух плоскостей прохлдит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Пл-ть α проходит через прямую АВ, перпендик. к плоскости  β и пересекает её в точке А.

Д-ть: α↓β

Док-во: Плоскости α и β пересекаются на прямой АС, причем АВ↓АС, т.к. АВ↓β. Проведем в плоскости β прямую АD, перпендикулярную к АС. По построению угол ВАD – линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α и β. Поскольку АВ↓β, то угол ВАD=90. След. угол между плоскостями α и β равен 90, т.е. α↓β


Билет 12

1. Призма – выпуклый многогранник, у которого две грани – равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, остальные грани – параллелограммы.

Призма называется прямой, если её боковые ребра перпендикулярны к основаниям. Высота прямой призмы равна её боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Частным случаем прямой призмы явл. прямоуг. Параллелепипед

2. Прямая называется перпендикулярной  к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 

Свойства перпендикулярных прямой и пл-ти:

Теорема1.:Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Док-во:Пусть а||b, причем , например а↓α. Проведем какую-либо прямую с, лежащую в плоскости α. Поскольку а↓α, то а↓с. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой b↓с. След. Прямая перпендикулярна к произвольной прямой, лежащей в пл-ти α, т.е. b↓α.

Теорема 2: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.


Билет 13

1. Параллелепипед – выпуклый многогранник, у которого две грани – равные параллелограммы с соответственно параллельными сторонами, а остальные грани – четыре параллелограмма.  Параллелепипед имеет шесть граней, каждая из которых – параллелограмм. Стороны параллелограммов называются ребрами,  а вершины – вершинами параллелепипеда. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими, отрезок, соединяющий, две противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Параллелепипед обладает следующими свойствами:

1) противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны

2) Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основаниям, а основания представляют собой прямоугольники. Кроме перечисленных св-в параллелепипеда, прямой параллелепипед имеет свои особые св-ва:

1)В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники

«0Все двугранные углы – прямые

№)Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты0

Параллелепипед можно рассматривать как призму в основании которой лежит параллелограмм. В этом случае прям. Параллелепипед представляет собой прямую призму, в основании которой прямоугольник.

2. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей

Теорема: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двух прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Док-во:По признаку параллельности прямой и плоскости а||β  и b||β. Предположим , что α и β не параллельны, значит они пересекаются по некоторой прямой с. Таким образом, плоскость α проходит через прямую а,, параллельную пл-ти β и пересекает пл-ть β по прямой с. По одному из св-в параллельности прямой и плоскости прямые а ис параллельны. Используя аналогичные рассуждения, делаем вывод, что  b||c/ Таким образом, через точку М проходят две прямые а и в, параллельные прямой с, что невозможно, т.к. через точку М проходит лишь одна прямая параллельная прямой с по теореме о параллельных прямых в пространстве, след. предположение о том, что плоскости α и β не параллельны, неверно, значит а||β 

Свойство: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.


Билет 14

1. Пирамида – многогранник, одной из граней которого является многоугольник, а остальные треугольники, имеющие общую вершину и основания, совпадающие со сторонами многоугольника.

Многоугольник называют основанием, общую вершину треугольников – вершиной, треугольники – боковые грани.

Стороны треугольников, исходящие из вершины – боковые ребра пирамиды.

Пирамиду, основанием которой является  n-угольник, называют n-угольной пирамидой. Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды  к плоскости основания, называют высотой пирамиды. Площадью боковой поверхности пирамиды называют сумму площадей её боковых граней, а площадь полной поверхности – площадь всех её граней

Частным случаем пирамиды является тетраэдр.

2.  Конус – тело, ограниченное конической поверхностью и кругом.

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Док-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке О.Введем ось Ох , перпендикулярно основанию через точку О. Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке М1, пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим радиус этого круга через R1, а площадь сечения S(х), где х – абсцисса точки М1. Из подобия прямоугольных треугольников ОМ1А и ОМА следует, что



Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=h, получаем



Площадь основания конуса  равна        , поэтому V=1/3Sh



Билет 15

1. Пирамида называется правильной, если её  основание – правильный многоугольник, а отрезок , соединяющий вершины пирамиды с центром основания, является высотой.

Боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными р/б треугольниками Равенство боковых ребер следует из равенства прямоуг. Треуг., образованных боковыми ребрами, высотой и радиусом  описанной около  многоугольника основания окр-ти. На рис. Треуг. РНА1=РНА2, след РА1=РА2. Высота боковой грани прав. Пирамиды, проведенная из её вершины, называется апофемой. На рис. РВ1 – одна из апофем. И равенства боковых граней следует и равенство всех апофем правильной пирамиды.

2. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема: Еслиодна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Док-во: рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости α, и прямую СD,  пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ. Докажем, что Ав и  СD – скрещивающиеся прямые, т.е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и СD  лежат в некоторой плоскости β, то плоскость β будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадает с плоскостью α. Но это невозможно, т.к. прямая СD не лежит в плоскости α, ч. и т.д.



Билет 16

1. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, получаемая перемещаемая прямой линии вдоль окр-ти  L с центром в точке О, лежащей в плоскости  α, параллельно оси, перпендикулярной плоскости α.

При этом перемещаемая прямая пересекает любую плоскость β, параллельную плоскости α, по окр-ти L, того же радиуса, что и окр-ть L, причем центр О1 окр-ти L1 , лежит на перпендикуляре в обеим плоскостям, проходящим через точку О.

Перемещаемая прямая называется образующей цилиндрической поверхности.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 ,  называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Отрезки образующих цилиндрической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими цилиндра. Прямая ОО1, проходящая через центры кругов – осью цилиндра. Образующие цилиндра равны между собой, как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями  α и β.

Высотой цилиндра называется длина его образующей. Радиусом называется радиус круга, лежащего в основании. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечение цилиндра. Осевое сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого образующие, а другие две – диаметры цилиндра.

Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом, радиус которого равен радиусу цилиндра.

2. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Теорема: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Для док-ва теоремы рассмотрим плоскость α  и две прямые, одна из которых лежит в плоскости α , а вторая не лежит в плоскости α, причем а||b   Докажем, что а||α. Предположим, что прямая а не параллельна плоскости а. Тогда прямая а пересекает плоскость а и по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b, параллельная прямой а, также пересекает плоскость α, но это невозможно, т.к. по усл.  b принадлежит α, след. Прямая а не пересекает пл-ть  α, а параллельна ей.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.



Билет 17

1.  Поверхность, образованная  перемещающимися вдоль окр-ти L лучрм PQ, исходящим из точки Р перпендикулярна РО, проведенного к плоскости окр-ти L через ее  центр О, называется конической поверхностью.

Перемещающийся луч PQ называется образующей, а  неподвижная точка Р – вершиной конической поверхности Тело ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L,лежащим в пл-ти α, называется конусом. Коническая поверхность назыв. Боковой поверхностью конуса, а круг с границей  L – основанием конуса. Отрезки образующих конической поверхности, ограниченные точкой Р и окружностью L, называются образующими конуса. Прямая РО, перпендикулярная к основанию и проходящая через центр О основания и вершину Р, называется осью конуса, а отрезок РО – его высотой. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Сечение конуса плоскостью, проходящей через ось, называется осевым  и представляет собой р/б тругольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Если секущая плоскость перпендикулярна оси, то сечением является круг с центром О1, лежащим на оси, радиус которого равен

, где R – радиус основания конуса.

Коническую поверхность можно определить в более глубоком смысле как поверхность, образованную перемещением прямой линии, имеющей неподвижную точку вдоль некоторой кривой L. Кривая L при этом называется направляющей конической поверхности.

2.  Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Признак параллельности двух прямых в пространстве.

Теорема: Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Рассмотрим 3 прямые а,в,с, такие что а||c, b||c. Докажем что а|| b. Докажем что прямые а и в лежат в одной  плоскости. На прямой в возьмем произвольную точку К и проведем плоскость α. Тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с  также пересекает пл-ть α. Но так как прямая а ис параллельны, то и прямая а пересекает пл-ть, что невозможно, поскольку прямая а лежит в ней. Следовательно, предложение  о пересечении плоскости α прямой в неверно, и прямая в лежит в ней.

Докажем теперь, что прямые а и в не пересекаются. Действительно, если бы прямые а и в пересекались, то через точку их пересечения проходили бы две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Таким образом, прямые а и в не пересекаются. Поскольку прямые а и в лежат в одной плоскости и не пересекаются, то они параллельны.

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость.



Билет 18

1.  Сфера – поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от некоторой точки.

Шар – тело, ограниченное сферой.

Радиусом сферы и шара называется расстояние от центра сферы до произвольной точки сферы.

Отрезок соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр назыв. диаметром сферы и шара.

Любое сечение шара плоскостью представляет собой круг, центр которого лежит на перпендикуляре, проведенном из центра О шара к секущей плоскости. Сечение, проходящее через центр шара, называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Шар может быть получен вращением полукруга вокруг диаметра.  Пример: Найдем площадь сечения шара радиуса R плоскостью, проходящей на расстоянии ОО1=d  от центра. Для этого соединим точку М пересечения секущей плоскости и сферы с центром О. Найдем катет  О1М полученного прямоугольного треугольника :


О1М является радиусом сечения ,  поэтому    


Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.

Теорема: радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости перпендикулярен  к касательной плоскости.

Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

2. Теорема о трех перпендикулярах:

Прямая проведенная в  плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой плоскости.

Отрезок АН – перпендикуляр к пл-ти α

АМ – наклонная

а  прямая проведенная в пл-ти  α через точку М перпендикулярно к проекции АМ наклонной

Докажем, что а↓АМ

Рассмотрим пл-ть АМН. Прямая а перпендикулярна к этой пл-ти, т.к. она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН  (а↓НМ по усл. и а↓АН, т.к. АН↓α)

Следовательно прямая а перпендикулярна к любой прямой лежащей в пл-ти АМН, в частности а↓АМ.

Перпендикуляром к пл-ти назыв. Отрезок АН прямой перпендикулярной к пл-ти, где точка Н – точка пересечения этой прямой м пл-ти, а точка А лежит на этой прямой.

Отрезок Ам, соединяющий точку а с произвольной точкой М пл-ти, не совпадающей с точкой Н, называется наклонной к пл-ти. Точки Н и М называются соответственно основаниями перпендикуляра и наклонной. Отрезок  НМ, соединяющий основания Н и М перпендикуляра и наклонной, называется проекцией наклонной на пл-ть. Прямая называется перпендикулярной к пл-ти, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой пл-ти.

Теорема:( Признак перпендикулярности прямой м пл-ти) : если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в пл-ти , то она перпендикулярна к этой пл-ти.

Теорема:( Признак перпендикулярности прямой м пл-ти) : если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в пл-ти , то она перпендикулярна к этой пл-ти.