1-я контрольная работа
Задача № 1.33
Вычислить центральный момент третьего порядка (μ3) по данным таблицы:
|
Производительность труда, м/час
|
80.5 – 81.5
|
81.5 – 82.5
|
82.5 – 83.5
|
83.5 – 84.5
|
84.5 – 85.5
|
|
Число рабочих
|
7
|
13
|
15
|
11
|
4
|
|
Производительность труда, м/час
|
XI
|
Число рабочих, mi
|
mixi
|
(xi-xср)3
|
(xi-xср)3mi
|
|
80.5 – 81.5
|
81
|
7
|
567
|
-6,2295
|
-43,6065
|
|
81.5 – 82.5
|
82
|
13
|
1066
|
-0,5927
|
-7,70515
|
|
82.5 – 83.5
|
83
|
15
|
1245
|
0,004096
|
0,06144
|
|
83.5 – 84.5
|
84
|
11
|
924
|
1,560896
|
17,16986
|
|
84.5 – 85.5
|
85
|
4
|
340
|
10,0777
|
40,31078
|
|
Итого:
|
|
50
|
4142
|
|
6,2304
|
Ответ: μ3=0,1246
Задача № 2.45
Во время контрольного взвешивания пачек чая установлено, средний вес у n=200 пачек чая равен  =26 гр. А S=1гр. В предложение о нормальном распределение определить у какого количества пачек чая ве будет находится в пределах от ( до  .
Р(25<x<27)=P =2Ф(1)-1=0,3634
m=n*p=200*0,3634 ≈ 73
Ответ: n=73
Задача № 3.17
На контрольных испытаниях n=17 было определено  =3000 ч . Считая, что срок службы ламп распределен нормально с  =21 ч.., определить ширину доверительного интервала для генеральной средней с надежностью   =0,98
Ответ: [2988< <3012]
Задача № 3.69
По данным контрольных испытания n=9 ламп были получены оценки  =360 и S=26 ч. Считая, что сроки служб ламп распределены нормально определить нижнюю границу доверительного интервала для генеральной средней с надежностью 
Ответ: 358
Задача № 3.71
По результатам n=7 измерений средняя высота сальниковой камеры равна  =40 мм, а S=1,8 мм. В предложение о нормальном распределение определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала  .
Ответ: P=0,516
Задача № 3.120
По результатам измерений длины n=76 плунжеров было получено  =50 мм и S=7 мм. Определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для генеральной средней.
Ответ: 50,2
Задача № 3.144
На основание выборочных наблюдений за производительностью труда n=37 рабочих было вычислено  =400 метров ткани в час S=12 м/ч. в предложение о нормальном распределение найти вероятность того, что средне квадратическое отклонение будет находится в интервале от 11 до 13.
Ответ: P(11<σ<13)=0,8836
Задача № 4.6
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о биноминальном законе распределения на основание следующих данных.
|
Mi
|
85
|
120
|
25
|
10
|
|
Mti
|
117
|
85
|
37
|
9
|
|
mi
|
miT
|
(mi-miT)2
|
(mi-miT)2/ miT
|
|
85
|
117
|
1024
|
8,752137
|
|
120
|
85
|
1225
|
14,41176
|
|
25
|
37
|
144
|
3,891892
|
|
10
|
9
|
1
|
0,111111
|
|
|
|
27,1669
|
χ2факт.=Σ(mi- miT)/ miT=27,17
χ2табл.= (ν=2, α=0,02)=7,824
χ2факт>χ2табл
Ответ: Выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения отвергается с вероятностью ошибки альфа.
2-я контрольная работа
Задача 4.29
По результатам n =4 измерений в печи найдено   = 254° C. Предполагается, что ошибка измерения есть нормальная случайная величина с σ = 6° C. На уровне значимости α = 0.05 проверить гипотезу H0: μ = 250° C против гипотезы H1: μ = 260° C. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.
μ1 > μ0 ⇒ выберем правостороннюю критическую область.
Ответ: Т.к. используем правостороннюю критическую область, и tкр > tнабл, то на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается (|tкр| - |tнабл |=0,98).
Задача 4.55
На основание n=5 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна  мм, а S=1,2 мм. В предположение о нормальном распределение вычислить на уровне значимости α=0,01 мощность критерия при гипотезе H0 : 50 и H1 :  53
Ответ: 23
Задача 4.70
На основании n = 15 измерений найдено, что средняя высота сальниковой камеры равна  = 70 мм и S = 3. Допустив, что ошибка изготовления есть нормальная случайная величина на уровне значимости α = 0.1 проверить гипотезу H0:  мм2 при конкурирующей гипотезе  . В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.
 построим левостороннюю критическую область.
Вывод:  на данном уровне значимости нулевая гипотеза не отвергается ( ).
Задача 4.84
По результатам n = 16 независимых измерений диаметра поршня одним прибором получено  = 82.48 мм и S = 0.08 мм. Предположив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение, на уровне значимости α = 0.1 вычислить мощность критерия гипотезы H0:  при конкурирующей гипотезе H1:  .
 построим левостороннюю критическую область.
Ответ: 23;
Задача 4.87
Из продукции двух автоматических линий взяты соответственно выборки n1 = 16 и n2 = 12 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены  = 180 мм и  = 186 мм. Предварительным анализом установлено, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины с дисперсиями  мм2 и  мм2. На уровне значимости α = 0.025 проверить гипотезу H0: μ1 = μ2 против H1: μ1 < μ2.
Т.к. H1: μ1 < μ2, будем использовать левостороннюю критическую область.
Вывод:  гипотеза отвергается при данном уровне значимости.
Задача 4.96
Из двух партий деталей взяты выборки объемом n1 = 16 и n2 = 18 деталей. По результатам выборочных наблюдений найдены  = 260 мм, S1 = 6 мм,  = 266 мм и S2 =7 мм. Предполагая, что погрешности изготовления есть нормальные случайные величины и  , на уровне значимости α = 0.01 проверить гипотезу H0: μ1 = μ2 против H1: μ1 ≠ μ2.
Вывод:  при данном уровне значимости гипотеза не отвергается.
Задача 4.118
Из n1 = 200 задач первого типа, предложенных для решения, студенты решили m1 = 152, а из n2 = 250 задач второго типа студенты решили m2 = 170 задач. Проверить на уровне значимости α = 0.05 гипотезу о том, что вероятность решения задачи не зависит от того, к какому типу она относится, т.е. H0: P1 = P2. В ответе записать разность между абсолютными величинами табличного и фактического значений выборочной характеристики.
Вывод: нулевая гипотеза при данном уровне значимости принимается ( ).
Задача 1.39:
Вычислить центральный момент третьего порядка (μ3*) по данным таблицы:
|
Урожайность (ц/га), Х
|
34,5-35,5
|
34,5-36,5
|
36,5-37,5
|
37,5-38,5
|
38,5-39,5
|
|
Число колхозов, mi
|
4
|
11
|
20
|
11
|
4
|
Решение:
|
Урожайность (ц/га), Х
|
Число колхозов, mi
|
Xi
|
mixi
|
(xi-xср)3
|
(xi-xср)3mi
|
|
34,5-35,5
|
4
|
35
|
140
|
-8
|
-32
|
|
34,5-36,5
|
11
|
36
|
396
|
-1
|
-11
|
|
36,5-37,5
|
20
|
37
|
740
|
0
|
0
|
|
37,5-38,5
|
11
|
38
|
418
|
1
|
11
|
|
38,5-39,5
|
4
|
39
|
156
|
8
|
32
|
|
Итого:
|
50
|
-
|
1850
|
-
|
0
|
Ответ: μ3*=0
Задача 2.34:
В результате анализа технологического процесса получен вариационный ряд:
|
Число дефектных изделий
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
Число партий
|
79
|
55
|
22
|
11
|
3
|
Предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить вероятность появления 3 дефектных изделий.
Решение:
|
m
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
p
|
0.4647
|
0.3235
|
0.1294
|
0.0647
|
0.0176
|
Ответ: P=7.79*10-7
Зпадача 3.28:
В предложении о нормальной генеральной совокупности с σ=5 сек., определить минимальный объем испытаний, которые нужно провести, чтобы с надежностью γ=0.96 точность оценки генеральной средней μ времени обработки зубчатого колеса будет равна δ=2 сек.
Решение:
n=(5.1375)3=26.39≈27
Ответ: n=27
Задача 3.48:
На основании измерения n=7 деталей вычислена выборочная средняя и S=8 мк. В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально, определить с надежностью γ=0.98 точность оценки генеральной средней.
Решение:
St(t,ν=n-1)=γ=St(t,6)=0.98
Ответ: δ=0.4278
Задача 3.82:
На основании n=4 измерений температуры одним прибором определена S=9 °С. Предположив, что погрешность измерения есть нормальная случайная величина определить с надежностью γ=0.9 нижнюю границу доверительного интервала для дисперсии.
Решение:
Ответ: 41.4587
Задача 3.103:
Из 400 клубней картофеля, поступившего на контроль вес 100 клубней превысили 50 г. Определить с надежностью γ=0.98 верхнюю границу доверительного интервала для вероятности того, что вес клубня превысит 50 г.
Решение:
t=2.33
Ответ: 0.3
Задача 3.142:
По результатам 100 опытов установлено, что в среднем для сборки вентиля требуется Xср=30 сек., а S=7 сек. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью γ=0.98 верхнюю границу для оценки σ генеральной совокупности.
Решение:
t=2.33
Ответ: 8.457
Задача 4.18:
Гипотезу о нормальном законе распределения проверить с помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0.05 по следующим данным:
|
mi
|
6
|
13
|
22
|
28
|
15
|
3
|
|
miT
|
8
|
17
|
29
|
20
|
10
|
3
|
Решение:
|
mi
|
miT
|
(mi-miT)2
|
(mi-miT)2/ miT
|
|
6
|
8
|
4
|
0.5
|
|
13
|
17
|
16
|
0.941
|
|
22
|
29
|
49
|
1.6897
|
|
28
|
20
|
64
|
3.2
|
|
15
|
10
|
25
|
1.9231
|
|
3
|
3
|
|
Итого:
|
-
|
-
|
8.2537
|
Ответ: -2.2627
1.36.
Вычислить дисперсию.
|
Производительность труда
|
Число рабочих
|
Средняя производительность труда
|
|
81,5-82,5
|
9
|
82
|
|
82,5-83,5
|
15
|
83
|
|
83,5-84,5
|
16
|
84
|
|
84,5-85,5
|
11
|
85
|
|
85,5-86,5
|
4
|
86
|
|
Итого
|
55
|
|
2.19.
Используя результаты анализа и предполагая, что число дефектных изделий в партии распределено по закону Пуассона, определить теоретическое число партий с тремя дефектными изделиями.
|
m
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Итого
|
|
fi
|
164
|
76
|
40
|
27
|
10
|
3
|
320
|
|
Pm
|
|
0,34
|
0,116
|
0,026
|
0,004
|
0,001
|
|
|
Pm*fi
|
288,75
|
25,84
|
4,64
|
0,702
|
0,04
|
0,003
|
320
|
|
fi теор.
|
288
|
26
|
5
|
1
|
0
|
0
|
320
|
m – число дефектных изделий в партии,
fi – число партий,
fi теор. = теоретическое число партий
Теоретическое значение числа партий получается округлением Pm*fi.
Соответственно, теоретическое количество партий с тремя дефектными изделиями равно 1.
3.20.
По выборке объемом 25 вычислена выборочная средняя диаметров поршневых колец. В предложении о нормальном распределении найти с надежностью γ=0,975 точность δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание, зная, что среднее квадратическое отклонение поршневых колец равно 4 мм..
3.40.
По результатам семи измерений средняя высота сальниковой камеры равна 40 мм., а S=1,8 мм.. В предположении о нормальном распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98х;1,02х).
3.74.
По данным контрольных 8 испытаний определены х=1600 ч. и S=17ч..Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить вероятность того, что абсолютная величина ошибки определения среднего квадратического отклонения меньше 10% от S.
3.123.
По результатам 70 измерений диаметра валиков было получено х=150 мм., S=6,1 мм.. Найти вероятность того, что генеральная средняя будет находиться внутри интервала (149;151).
3.126
По результатам 50 опытов установлено, что в среднем для сборки трансформатора требуется х=100 сек., S=12 сек.. В предположении о нормальном распределении определить с надежностью 0,85 верхнюю границу для оценки неизвестного среднего квадратического отклонения.
4.10
С помощью критерия Пирсона на уровне значимости α=0,02 проверить гипотезу о законе распределения Пуассона (в ответе записать разность между табличными и фактическими значениями χ2).
|
mi
|
miT
|
(mi-miT)2
|
(mi-miT)2/miT
|
|
80
|
100
|
400
|
4
|
|
125
|
52
|
5329
|
102,5
|
|
39
|
38
|
1
|
0,03
|
|
12
|
100
|
4
|
0,4
|
|
∑=256
|
200
|
5734
|
122,63
|
Гипотеза противоречит закону распределения Пуассона.
|
